Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過(guò)恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出單調(diào)區(qū)間和最小正周期．
（2）利用第一步結(jié)論利用定義域根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a=

3

sin2x-cos2x+a
=2sin(2x-

π

6

)+a                       
∴f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]，則：2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f（x）值域?yàn)閇a-1，a+2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最小正周期，利用定義域求函數(shù)的值域．