Question

已知向量

m

=（sin

x

4

，

3

），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

m

•

n

．
（I）若f（x）=0，求sin（

π

6

+x）值；
（II）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的最大值及相應(yīng)的角A．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、誘導(dǎo)公式即可得出；
（II）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，利用兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式可得2sinAcosB=sinA，cosB=

1

2

，即可得出．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）f(x)=

m

•

n

=sin

x

4

cos

x

4

+

3

cos2

x

4

=

1

2

sin

x

2

+

3

2

cos

x

2

+

3

2

=sin(

x

2

+

π

3

)+

3

2

，
∵f（x）=0，
∴sin(

x

2

+

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(

π

6

+x)=-cos(x+

2π

3

)=2sin2(

x

2

+

π

3

)-1=2×(-

3

2

)2-1=

1

2

．
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

∴0＜A＜

2π

3

．
∴

π

3

＜

A

2

+

π

3

＜

2π

3

，

3

2

＜sin(

A

2

+

π

3

)≤1，
∴

3

＜sin(

A

2

+

π

3

)+

3

2

≤

3

2

+1，
當(dāng)A=

π

3

時(shí)，sin(

A

2

+

π

3

)=1，f（A）取得最大值

3

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、誘導(dǎo)公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、正弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．