Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在點（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)實數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-kx（k∈R），求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1）的值，代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅲ）令g（x）=0得：$k=\frac{f（x）}{x}=\frac{lnx}{x^2}$，通過討論k的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的零點問題．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{lnx}{x}$$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$…2 分，f′（1）=1…（3分）
曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為 y=x-1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)$h（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{lnx}{x^2}（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}（x＞0）$
令$h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}=0$，解得：$x=\sqrt{e}$…（2分）
當x在（0，+∞）上變化時，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	$（0，\sqrt{e}）$	$\sqrt{e}$	$（\sqrt{e}，+∞）$
h'（x）	+	0	-
h（x）	↗	$\frac{1}{2e}$	↘

由上表可知，當$x=\sqrt{e}$時，h（x）取得最大值$\frac{1}{2e}$…（4分）
由已知對任意的x＞0，$k＞\frac{f（x）}{x}=h（x）$恒成立
所以，k得取值范圍是$（\frac{1}{2e}，+∞）$．                     …（5分）
（Ⅲ）令g（x）=0得：$k=\frac{f（x）}{x}=\frac{lnx}{x^2}$…（1分）
由（Ⅱ）知，$h（x）=\frac{lnx}{x^2}$在$[\frac{1}{e}，\sqrt{e}]$上是增函數(shù)，在$[\sqrt{e}，{e^2}]$上是減函數(shù)．
且$h（\frac{1}{e}）=-{e^2}$，$h（\sqrt{e}）=\frac{1}{2e}$，$h（{e^2}）=\frac{2}{e^4}$
所以當k＜-e²或$k＞\frac{1}{2e}$時，函數(shù)g（x）在$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上無零點；
當$-{e^2}≤k＜\frac{2}{e^4}$或$k=\frac{1}{2e}$時，函數(shù)g（x）在$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上有1個零點；
當$\frac{2}{e^4}≤k＜\frac{1}{2e}$時，函數(shù)g（x）在$[\frac{1}{e}，{e^2}]$上有2個零點       …（4分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．