Question

2．已知函數(shù)f（x）=-alnx+（a+1）x-$\frac{1}{2}{x^2}$（a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥-$\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b恒成立，求$a∈[{\frac{1}{2}，1}]$時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為b≤-alnx+x恒成立，令g（x）=-alnx+x，x＞0，即b≤g（x）_min，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出b的最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=-alnx+（a+1）x-$\frac{1}{2}{x^2}$（a＞0），定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分），
∴${f^'}（x）=-\frac{a}{x}+a+1-x$=$\frac{-（x-a）（x-1）}{x}$，x＞0…（2分）
令f′（x）=0，則x₁=a，x₂=1
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，則a＜x＜1；
令f′（x）＜0，則0＜x＜a，或x＞1，
∴f（x）在（0，a），（1，+∞）單調(diào)遞減；（a，1）單調(diào)遞增；    …（3分）
②當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≤0，且僅在x=1時(shí)，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；        …（4分）
③當(dāng)a＞1時(shí)，令f′（x）＞0，則1＜x＜a；
令f′（x）＜0，則   0＜x＜1，或x＞a，
∴在（0，1 ），（a，+∞）單調(diào)遞減；（1，a）單調(diào)遞增．…（5分）
綜上所述，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，a），（1，+∞）單調(diào)遞減；（a，1）單調(diào)遞增；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1），（a，+∞）單調(diào)遞減；（1，a）單調(diào)遞增．…（6分）
（2）∵$f（x）=-alnx+（a+1）x-\frac{1}{2}{x^2}\;（a＞0）$
若$f（x）≥-\frac{1}{2}{x^2}+ax+b$恒成立，
∴b≤-alnx+x恒成立  …（7分）
令g（x）=-alnx+x，x＞0，
即b≤g（x）_min…（8分），
∵g′（x）=$1-\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，（a＞0），
∴g（x） 在（0，a）單調(diào)遞減，（a，+∞） 單調(diào)遞增；
g（x）_min=g（a）=-alna+a…（10分）
∴b≤-alna+a，a∈[$\frac{1}{2}$，1]，
令h（a）=-alna+a
∴h′（a）=-lna＞0，∴h（a）單調(diào)遞增，
∴h（a）_min=h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1+ln2），
∴$b≤\frac{1}{2}（1+ln2）$
即b的最大值為$\frac{1}{2}（1+ln2）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．