Question

下列命題中，真命題是______．
①若f′（x₀）=0，則函數(shù)f（x）在x=x₀處取極值．
②函數(shù)f（x）=lnx+x-2在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)．
③“a=1”是函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)的充分不必要條件．
④將函數(shù)y=2cos²x-1的圖象向右平移

3π

4

個(gè)單位可得到y(tǒng)=sin2x的圖象．
⑤點(diǎn)(

π

3

，

1

2

)是函數(shù)f(x)=cos

1

2

x(

3

sin

1

2

x+cos

1

2

x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心．

Answer 1

令f（x）=x³，則f′（x₀）=3x²，當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，此時(shí)函數(shù)f（x）不是極值，故①錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）=lnx+x-2在區(qū)間（1，e）上是連續(xù)的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)，故②正確；
函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)，則f(-x)=

a-e-x

1+ae-x

=

aex-1

ex+a

=-f(x)=-

a-ex

1+aex

，即解得a=±1，故③“a=1”是函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)的充分不必要條件正確；
將函數(shù)y=2cos²x-1=cos2x的圖象向右平移

3π

4

個(gè)單位可得到y(tǒng)=cos[2（x-

3π

4

）]=cos（2x-

3π

2

）=-sin2x的圖象，故④錯(cuò)誤．
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，函數(shù)f(x)=cos

1

2

x(

3

sin

1

2

x+cos

1

2

x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

=

3

2

，此時(shí)函數(shù)取最大值，故⑤錯(cuò)誤
故答案為②③