Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求直線BC與平面APB所成角的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面APB的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD；根據(jù)AP=BP以及AC=BC，即可證得AB⊥平面PCD；進(jìn)而得到結(jié)論；
（Ⅱ）先根據(jù)條件得到BC⊥平面PAC．再取AP中點(diǎn)E，連接BE，CE，推得EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，轉(zhuǎn)化為求∠EBC即可；
（Ⅲ）先結(jié)合（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，得到平面APB⊥平面PCD．再過(guò)C作CH⊥PD，垂足為H，可得CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面APB的距離，然后通過(guò)解三角形求出其長(zhǎng)即可．

解答：解：（Ⅰ）∵AP=BP，∴PD⊥AB．…1
∵AC=BC，∴CD⊥AB．…2
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．…3
∵PC∩平面PCD．∴PC⊥AB．…4
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥BC．∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC．
且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中點(diǎn)E，連接BE，CE．
∵AB=BP，∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影．∴CE⊥AP．
∴∠EBC是直線BC與平面APB所成的角                        …6
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

，sin∠EBC=

EC

BE

=

3

3

．…8
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．
過(guò)C作CH⊥PD，垂足為H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面APB的距離，…10
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A．
∴PC⊥平面ABC．CD?平面ABC．
∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=

1

2

AB=

2

，PD=

3

2

PB=

6

，
∴PC=

PD2-CD2

=2．
∴CH=

PC•CD

PD

=

2 3

3

．
∴點(diǎn)C到平面APB的距離為

2 3

3

．…12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線線垂直的證明以及線面所成的角和點(diǎn)到面的距離問(wèn)題．其中在證明線線垂直時(shí)，一般先證明線面垂直，進(jìn)而得線線垂直．