Question

11．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AB=2，PA=$\sqrt{6}$，E是棱PC的中點(diǎn)，過(guò)AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點(diǎn)．
（1）若PM=$\frac{2}{3}$PB，PN=λPD，求λ的值；
（2）求直線(xiàn)PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-$\sqrt{2}$，0），B （$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）由AN，AE，AM共面，$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}x}{3}-\sqrt{2}λy=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\\{1=\frac{2}{3}x+（2-2λ）y}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=y=\frac{3}{4}}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）根據(jù)正四棱錐P-ABCD的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，P到面AMEN的距離最大，此時(shí)直線(xiàn)PA與平面AMEN所角最大，P到面AMEN的距離最小，此時(shí)直線(xiàn)PA與平面AMEN所角最小．利用向量分別求出求解直線(xiàn)PA與平面AMEN所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）連接AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-$\sqrt{2}$，0），B （$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{3\sqrt{2}}{2}，1）$，$\overrightarrow{AP}=（0，\sqrt{2}，2）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}=（\frac{2\sqrt{2}}{3}，\sqrt{2}，\frac{2}{3}）$．
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=（-\sqrt{2}λ，\sqrt{2}，2-2λ）$，
∵AN，AE，AM共面，∴$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}x}{3}-\sqrt{2}λy=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\\{1=\frac{2}{3}x+（2-2λ）y}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=y=\frac{3}{4}}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）根據(jù)正四棱錐P-ABCD的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，P到面AMEN的距離最大，此時(shí)直線(xiàn)PA與平面AMEN所角最大，
，P到面AMEN的距離最小，此時(shí)直線(xiàn)PA與平面AMEN所角最�。�
①由（Ⅰ）知當(dāng)PM=PN時(shí)，λ=$\frac{2}{3}$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{2\sqrt{2}}{3}，\sqrt{2}，\frac{2}{3}），\overrightarrow{AE}=（0，\frac{3}{2}\sqrt{2}，1）$，
設(shè)面AMEN的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\frac{3\sqrt{2}}{2}y+z=0$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}x+\sqrt{2}y+\frac{2}{3}z=0$取$\overrightarrow{m}=（0，\sqrt{2}，-3）$
設(shè)直線(xiàn)PA與平面AMEN所成角為θ，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AP}$＞|=$\frac{2\sqrt{66}}{33}$，
②當(dāng)M在B時(shí)，因?yàn)锳B∥面PDC，所以過(guò)AB，AE的面與面PDC的交線(xiàn)NE∥AB
設(shè)$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$是面ABEN的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}a+\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{3\sqrt{2}}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，-3）$
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}$＞|=$\frac{2\sqrt{78}}{39}$．
直線(xiàn)PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[$\frac{2\sqrt{78}}{39}$，$\frac{2\sqrt{66}}{33}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間存在性問(wèn)題，通過(guò)向量共面證明四點(diǎn)共面，及向量法求線(xiàn)面角，屬于中檔題．