Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）y=lg

tanx+1

tanx-1

；
（2）f(x)=lg(sinx+

1+sin2x

)．

Answer 1

分析：（1） 自變量的取值范圍：x＞kπ+

π

4

或 x＜kπ-

π

4

，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到g（-x）=-g（x），g（x）是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)定義域是實(shí)數(shù)集，關(guān)于原點(diǎn)對稱，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)．

解答：解：（1）由題意知，

tanx+1

tanx-1

＞0，∴tanx＞1 或tanx＜-1，∴x＞kπ+

π

4

或 x＜kπ-

π

4

，
定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)g（x）=y=lg

tanx+1

tanx-1

；  則 g（-x）=lg

tan(-x)+1

tan(-x)-1

=lg

tanx-1

tanx+1

=-lg

tanx+1

tanx-1

=-g（x），∴g（x）=y=lg

tanx+1

tanx-1

是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)定義域是實(shí)數(shù)集，f（-x）=lg（sin（-x）+

1+sin2x

）=lg（

1+sin2x

-sinx）
=lg

1

sinx+ 1+sin2x

=-lg（sinx+

1+sin2x

）=-f（x）．∴函數(shù)f(x)=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法：先看函數(shù)的定義域手否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．