Question

6．已知函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{1}{x}+\frac{1}{{2{x^2}}}，a∈R$．
（1）a=2時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：$（{x-1}）（{{e^{-x}}-x}）+2lnx＜\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），分別解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）可知：f（1）_min=f（1），可得$2lnx-x-\frac{x^2}{2}≤-\frac{3}{2}$．令$g（x）=（{x-1}）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得：g（x）的最大值，即可得出．

解答 （1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），又$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}=\frac{{a{x^2}-x-1}}{x^3}$．
當a=2時，$f'（x）=\frac{{（{2x+1}）（{x-1}）}}{x^3}$．令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）證明：由（1）可知，f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}，2lnx+\frac{1}{x}+\frac{1}{{2{x^2}}}≥\frac{3}{2}$．
即$2ln\frac{1}{x}+x+\frac{x^2}{2}≥\frac{3}{2}$，∴$2lnx-x-\frac{x^2}{2}≤-\frac{3}{2}$．
令$g（x）=（{x-1}）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x，x＞0$，而g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知x=2時，g（x）取得最大值，即$g（x）≤g（2）=\frac{1}{e^2}+2$．
∴$（{x-1}）{e^{-x}}-\frac{x^2}{2}+2x+2lnx-x-\frac{x^2}{2}=2lnx+（{x-1}）（{{e^{-x}}-x}）＜\frac{1}{e^2}+2-\frac{3}{2}＜\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．