在一個半徑為2的半圓上截取一個矩形，則矩形的最大面積為
8
8
．
分析：設矩形的邊AB在半圓直徑上，則圓心O在AB的中點，取CD中點E，連接OC、OE，設∠EOC=θ，利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，可得矩形的兩邊長分別為2Rsinθ和Rcosθ，因此矩形的面積為S=2R2sinθcosθ，代入題中數(shù)據再結合二倍角正弦公式的逆用，可得矩形面積的最大值．
解答：解：設矩形的邊AB在半圓直徑上，則圓心O在AB的中點，取CD中點E，連接OC、OE，設∠EOC=θ，
則在Rt△OCE中，OC=2，sinθ=
EC
OC
=
1
2
CD
2
=
CD
4
，cosθ=
OE
OC
=
BC
2

∴CD=4sinθ，BC=2cosθ
∴矩形ABCD的面積為S=CD×BC=4sinθ•2cosθ=8sinθcosθ，
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴S=4sin2θ
∵sin2θ≤1，且2θ=90°時等號成立
∴當θ=45°時，Smax=4，
故答案為：4．
點評：本題考查了三角函數(shù)的定義與二倍角公式，以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型解決應用題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為
1
2
的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P3，P4，…，Pn，…，記紙板Pn的面積為Sn，則Sn=
π
2
[1-
1-(
1
4
)n-1
3
]
π
2
[1-
1-(
1
4
)n-1
3
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，邊長為2的正方形內有一個半徑為1的半圓．向正方形內任投一點（假設該點落在正方形內的每一點都是等可能的），則該點落在半圓內的概率為
π
8
π
8
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

在一個半徑為2的半圓上截取一個矩形，則矩形的最大面積為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高考數(shù)學二模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形內有一個半徑為1的半圓．向正方形內任投一點（假設該點落在正方形內的每一點都是等可能的），則該點落在半圓內的概率為    ．

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