Question

已知函數(shù)f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）
（1）若對任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（2）討論函數(shù)m²=3零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）把不等式f（2^x）＞0轉化為m＞2^x-（2^x）²，利用配方法求得2^x-（2^x）²的最大值得答案；
（2）由f（x）=0得x|x|-x+m=0（x≠0），變?yōu)閙=-x|x|+x（x≠0），分別作出函數(shù)y=m和分段函數(shù)
g（x）=-x|x|+x（x≠0）的圖象得答案．

解答： 解：（1）由f（2^x）＞0，得|2x|+

m

2x

-1＞0，
變形為（2^x）²-2^x+m＞0，即m＞2^x-（2^x）²，
而2x-(2x)2=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
當2x=

1

2

，即x=-1時，(2x-(2x)2)max=

1

4

，
∴m＞

1

4

；
（2）由f（x）=0，可得x|x|-x+m=0（x≠0），
變?yōu)閙=-x|x|+x（x≠0），
令g(x)=x-x|x|=

-x2+x，x＞0 x2+x，x＜0

，
作y=g（x）的圖象及直線y=m如圖，

由圖象可得：
當m＞

1

4

或m＜-

1

4

時，f（x）有1個零點．
當m=

1

4

或m=0或m=-

1

4

時，f（x）有2個零點．
當0＜m＜

1

4

或-

1

4

＜m＜0時，f（x）有3個零點．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了利用配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．