Question

我市某校某數(shù)學(xué)老師這學(xué)期分別用m，n兩種不同的教學(xué)方式試驗(yàn)高一甲、乙兩個(gè)班（人數(shù)均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同，勤奮程度和自覺性都一樣）．現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，并作出莖葉圖如圖所示．
（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均分高？
（Ⅱ）現(xiàn)從甲班所抽數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，用ξ表示抽到成績(jī)?yōu)?6分的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀，作出分類變量成績(jī)與教學(xué)方式的2×2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？”
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖，確定甲、乙班數(shù)學(xué)成績(jī)集中的范圍，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由莖葉圖知成績(jī)?yōu)?6分的同學(xué)有2人，其余不低于80分的同學(xué)為4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）根據(jù)成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀，可得2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，從而與臨界值比較，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由莖葉圖知甲班數(shù)學(xué)成績(jī)集中于60-9（0分）之間，而乙班數(shù)學(xué)成績(jī)集中于80-100分之間，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉（3分）
（Ⅱ）由莖葉圖知成績(jī)?yōu)?6分的同學(xué)有2人，其余不低于80分的同學(xué)為4人，ξ=0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

，P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

┉┉┉┉┉┉（6分）
則隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	6 15	8 15	1 15

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

6

15

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

人-┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
（Ⅲ）2×2列聯(lián)表為

	甲班	乙班	合計(jì)
優(yōu)秀	3	10	13
不優(yōu)秀	17	10	27
合計(jì)	20	20	40

┉┉┉┉┉（10分）
K²=

40×(3×10-10×17)2

13×27×20×20

≈5.584＞5.024
因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下可以認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)．┉┉（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．