Question

已知

e1

，

e2

是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，

AB

=2

e1

+

e2

，

BE

=-

e1

+λ

e2

，

EC

=-2

e1

+

e2

，且A，E，C三點共線．
（1）求實數(shù)λ的值；若

e1

=（2，1），

e2

=（2，-2），求

BC

的坐標(biāo)；
（2）已知點D（3，5），在（1）的條件下，若ABCD四點構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：本題（1）通過幾何法將向量轉(zhuǎn)化為兩向量的和，再將所得向量坐標(biāo)化，即可得正確結(jié)論；（2）由已知幾何條件得到向量間關(guān)系，再坐標(biāo)化得到A點的坐標(biāo)，即本題答案．

解答： 解：（1）∵

AE

=

AB

+

BE

=(2

e1

+

e2

)+(-

e1

+λ

e2

)=

e1

+(1+λ)

e2

，
∵A，E，C三點共線，∴存在實數(shù)k，使得

AE

=k

EC

．
即

e1

+(1+λ)

e2

=k(-2

e1

+

e2

)，
得(1+2k)

e1

=(k-1-λ)

e2

．
∵

e1

，

e2

是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，
∴

1+2k=0 λ=k-1

，
解得k=-

1

2

，λ=-

3

2

．
∴

BC

=

BE

+

EC

=-3

e1

-

1

2

e2

=(-6，-3)+(-1，1)=(-7，-2)．
（2）∵A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形，
∴

AD

=

BC

．
設(shè)A（x，y），則

AD

=(3-x，5-y)，
又

BC

=(-7，-2)，
∴

3-x=-7 5-y=-2

，
解得

x=10 y=7

，
∴點A（10，7）．

點評：本題考查的是平面向量的坐標(biāo)運算，有一定的思維量，屬于中檔題．