Question

10．已知實數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減可求單調(diào)區(qū)間．
（2）先將函數(shù)f（x）展開，然后對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)等于0求x的值，再由函數(shù)的單調(diào)性進行驗證從而最終確定答案．

解答 解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=$\frac{2}{3}$．
當x＜$\frac{2}{3}$或x＞2時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
當 $\frac{2}{3}$＜x＜2時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
f（x）在（-∞，$\frac{2}{3}$）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（ $\frac{2}{3}$，2）上是減函數(shù)．
（2）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=$\frac{2}{3}$．
∵a＞0，∴x＜$\frac{2}{3}$或x＞2時，f′（x）＞0； $\frac{2}{3}$＜x＜2時，f′（x）＜0．
∴當x=$\frac{2}{3}$時，f（x）有極大值32，即a×$\frac{2}{3}$（$\frac{2}{3}$-2）²=3，
∴a=$\frac{81}{32}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的極值、單調(diào)性與其導函數(shù)之間的關系．考查分析問題解決問題的能力，屬中檔題．