Question

關于函數(shù)f（x）=-2sin²x+sin2x+1，給出下列四個命題：
①f（x）在區(qū)間[

π

8

，

5

8

π]上是減函數(shù)；
②直線x=

π

8

是函數(shù)圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位得到；
④若x∈[0，

π

2

]，則f（x）的值域是[0，

2

]；
⑤函數(shù)f（x）關于(

π

4

，0)對稱．
其中正確命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：首先利用二倍角公式和輔角公式整理函數(shù)式，在函數(shù)式的最簡形式下進行性質(zhì)的運算，寫出函數(shù)的減區(qū)間，可判斷①是否正確，代入x的值判斷函數(shù)是否取最值，可判斷②是否正確，根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移量，可判斷④的真假；根據(jù)自變量的值求出函數(shù)值，可以判斷④是否正確．代入x的值判斷函數(shù)值是否為0，可判斷⑤是否正確；

解答：解：f（x）=-2sin²x+sin2x+1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
由2x+

π

4

∈[zkπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，
當k=0時，區(qū)間[

π

8

，

5

8

π]是函數(shù)的減區(qū)間，故①正確，
當x=

π

8

時，y=

2

函數(shù)取最大值，故x=

π

8

是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故②正確，
函數(shù)y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

8

個單位可得函數(shù)f（x）的圖象，故③不正確，
當x∈[0，

π

2

]，f（x）的值域是[-1，

2

]，故④不正確，
當x=

π

4

時，y=1，函數(shù)值不為0，故(

π

4

，0)不是函數(shù)的對稱中心，故⑤不正確，
故答案為：①②

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變形和函數(shù)的性質(zhì)的運算，本題完全符合高考題目的方向，可以作為一個解答題目出現(xiàn)，注意三角函數(shù)的整理過程不要出錯，否則后面的運算都被影響．