Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）詳見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由題意知，可求出的值，經(jīng)檢驗(yàn)m=1符合題意；（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值，令即可得到答案；（Ⅲ）由題意，當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時(shí)，，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，，進(jìn)而分析函數(shù)單調(diào)性，求得，即可。

解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴，解得m=1．

經(jīng)檢驗(yàn)m=1符合題意.

（Ⅱ）由（ Ι）可知，函數(shù)f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定義域?yàn)椋?/span>-1，+∞）．

∵

設(shè)g（x）=ex（x+1）-1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，

又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；因此，的最小值為

∵在定義域內(nèi)恒成立,即

（Ⅲ）證明：要證，即.

設(shè),即證

當(dāng)mx∈（-m，+∞）時(shí)，，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，.

當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（－2，+∞）上為增函數(shù)，且．

故在（－2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根，且∈（－1，0）．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,

從而當(dāng)時(shí)，取得最小值．

由，得，即，故．

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)， 即＞m．