Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36．

（1）求an，Sn；

（2）若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，，求證：（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，Sn＝n2（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可求解；

（2）討論，將換為，相減得到，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和及不等式的性質(zhì)，即可求解．

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，前n項(xiàng)和為Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36，

可得a1+d+2（a1+3d）＝a1+8d，即2a1＝d，

又6a1+15d＝36，即2a1+5d＝12，

解得a1＝1，d＝2，則an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，Sn＝n+n（n﹣1）＝n2；

（2）證明：數(shù)列{bn}滿足b1＝1，n，

當(dāng)n＝1時(shí)，b1b2＝1，可得b2＝1，

n≥2時(shí)，bnbn﹣1＝n﹣1，

相減可得bn（bn+1﹣bn﹣1）＝1，即bn+1﹣bn﹣1，

當(dāng)n≥2時(shí)，b3﹣b1+b4﹣b2+b5﹣b3+…+bn+1﹣bn﹣1

b1﹣b2+bn+bn+1≥﹣1+221；

當(dāng)n＝1時(shí)，1＝21，不等式成立，

綜上可得，（n∈N*）．