Question

已知tan(

π

4

+α)=-

1

2

，求

sin2α-2cos2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：把已知的等式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，列出關(guān)于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后把所求的式子分子第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，得到關(guān)于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值．

解答：解：由已知：tan(

π

4

+α)=-

1

2

，
∴

1+tanα

1-tanα

=-

1

2

，
得tanα=-3，（4分）
則

sin2α-2cos2α

1+tanα

=

2sinαcosα-2cos2α

1+tanα

=

2cos2α(tanα-1)

1+tanα

=

2(tanα-1)

(1+tan2α)(1+tanα)

=

2(-3-1)

(1+9)(1-3)

=

2

5

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．