Question

9．已知拋物y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F在直線l：x-my-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0上且直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A₁、B₂，△AA₁F、△BB₁F的重心分別為G、H．證明：當(dāng)|m|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，點(diǎn)M（-$\frac{{m}^{2}}{2}$，0）在以GH為直徑的圓外．

Answer 1

分析 根據(jù)焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0）在直線l上，得p=m²，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后由直線l：x-my-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0與y²=2m²x消去x表示出兩根之和、兩根之積，然后設(shè)M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點(diǎn)，根據(jù)重心的定義可得到G（$\frac{{x}_{1}}{3}$，$\frac{2{y}_{1}}{3}$），H（$\frac{{x}_{2}}{3}$，$\frac{2{y}_{2}}{3}$），和GH的中點(diǎn)坐標(biāo)M（$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$，$\frac{2{m}^{3}}{3}$）．再由R²=$\frac{1}{4}$|GH|²可得到關(guān)于m的關(guān)系式，然后表示出|MN|整理即可得證．

解答 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因?yàn)榻裹c(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0）在直線l上，得p=m²
由直線l：x-my-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0與y²=2m²x消去x得y²-2m³y-m⁴=0，
由于|m|＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故△=4m⁶+4m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
設(shè)M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點(diǎn)，可知G（$\frac{{x}_{1}}{3}$，$\frac{2{y}_{1}}{3}$），H（$\frac{{x}_{2}}{3}$，$\frac{2{y}_{2}}{3}$），
所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{6}$=$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$，$\frac{2{y}_{1}+2{y}_{2}}{6}$=$\frac{2{m}^{3}}{3}$，
所以GH的中點(diǎn)M（$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$，$\frac{2{m}^{3}}{3}$）．
設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑，
則R²=$\frac{1}{4}$|GH|²=$\frac{1}{9}$（m²+4）（m²+1）m²
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)N（-$\frac{{m}^{2}}{2}$，0），
則|MN|²=（$\frac{{m}^{2}}{2}$+$\frac{{m}^{4}}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{6}$）+（$\frac{2{m}^{3}}{3}$）²
=$\frac{1}{9}$m⁴（m⁴+8m²+4）
=$\frac{1}{9}$m⁴[（m²+1）（m²+4）+3m²]
＞$\frac{1}{9}$m²（m²+1）（m²+4）=R²．
故N在以線段GH為直徑的圓外．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．