Question

3．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=$\frac{1}{2}$，a+b+c=sinA+sinB+sinC．
（1）求角A的大��；
（2）求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$，則a+b+c=k（sinA+sinB+sinC，所以k=1．于是sinA=$\frac{1}{2}$；
（2）利用余弦定理得出bc=$\frac{（b+c）^{2}-\frac{1}{4}}{2+\sqrt{3}}$，再利用基本不等式得出b+c的范圍，從而三角形的最大值．

解答 解：（1）設(shè)$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$，則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，
∴a+b+c=k（sinA+sinB+sinC），又∵a+b+c=sinA+sinB+sinC，∴k=1．
∴sinA=a=$\frac{1}{2}$，∵A是銳角，∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-$\sqrt{3}$bc=（b+c）²-（2+$\sqrt{3}$）bc=$\frac{1}{4}$，
∴bc=$\frac{（b+c）^{2}-\frac{1}{4}}{2+\sqrt{3}}$，又∵bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，∴$\frac{（b+c）^{2}-\frac{1}{4}}{2+\sqrt{3}}$≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
∴（b+c）²≤2+$\sqrt{3}$，∴b+c≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，∴a+b+c≤$\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
∴△ABC周長的最大值為$\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了正余弦定理在解三角形的應(yīng)用，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．