Question

13．設命題p：|2^x-3|＜1；命題q：lg²x-（2t+l）lgx+t（t+l）≤0，
（1）若命題q所表示不等式的解集為A={x|l0≤x≤100}，求實數(shù)t的值；
（2）若?p是?q的必要不充分條件，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡命題q，解集為A={x|l0≤x≤100}，即可解出t的值．
（2）?p是?q的必要不充分條件，即q⇒p，是充分不必要，結合不等式求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）命題q：lg²x-（2t+l）lgx+t（t+l）≤0，
化簡得：（lgx-t）[lgx-（t+1）]≤0，
解得：t≤lgx≤t+1．
∵解集為A={x|l0≤x≤100}，
可得：t=1
∴實數(shù)t的值為：1．
（2）命題p：|2^x-3|＜1；
化簡得：1≤x≤2，
命題q：lg²x-（2t+l）lgx+t（t+l）≤0，
化簡得：10^t≤x≤10^t+1，∵?p是?q的必要不充分條件，那么q是p的充分不必要條件．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{t}≤1}\\{1{0}^{t+1}≥2}\end{array}\right.$，
解得：lg2-1≤t≤0．
故得實數(shù)t的取值范圍是[lg2-1，0]．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵