Question

8．在數(shù)1和e²之間插入n個實數(shù)x₁，x₂，x₃，…，x_n，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這插入的n個數(shù)的乘積記作T_n，再令a_n=lnT_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}•（{a_n}+2）}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）若對任意n∈N^*，都有S_n$＜\frac{m}{60}$成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由1，x₁，x₂，•…•x_n，e²構(gòu)成等比數(shù)列，T_n=x₁x₂•…•x_n=eⁿ，進(jìn)而得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．
（3）利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵1，x₁，x₂，•…•x_n，e²構(gòu)成等比數(shù)列，
又T_n=x₁x₂•…•x_n=eⁿ，
∴a_n=lnT_n=lneⁿ=n．
（2）∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{2}（{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{2}[{\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{（{n+1}）（{n+2}）}}}]$．
（3）∵S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$$＜\frac{3}{4}$，
∴對任意n∈N^*，都有S_n$＜\frac{m}{60}$成立$?\frac{m}{60}≥\frac{3}{4}?m≥45$．
故m∈[45，+∞）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．