Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+m|．
（1）若不等式f（1）+f（-2）≥5成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x≠0時，證明：f（$\frac{1}{x}$）+f（-x）≥2．

Answer 1

分析 （1）由f（1）+f（-2）≥5得|m+1|+|m-2|≥5，然后分三種情況去絕對值號得出不等式解出；
（2）使用絕對值不等式消去m，利用基本不等式證明．

解答 解：（1）∵f（1）+f（-2）≥5，
∴|m+1|+|m-2|≥5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{-m-1+2-m≥5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m＜2}\\{m+1+2-m≥5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m+1+m-2≥5}\end{array}\right.$，
解得m≤-2，或m≥3．
∴m的取值范圍是（-∞，2]∪[3，+∞）．
（2）當(dāng)x≠0時，f（$\frac{1}{x}$）+f（-x）=|$\frac{1}{x}$+m|+|-x+m|≥|$\frac{1}{x}$+m+x-m|=|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+|$\frac{1}{x}$|≥2．
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時取“=“．
∴f（$\frac{1}{x}$）+f（-x）≥2．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法及絕對值不等式的證明，消去m是關(guān)鍵．