Question

6．已知方程x²+3x+c=0的兩個根為x₁、x₂，且|x₁-x₂|=1．
（1）若x₁、x₂是實數(shù)，求實數(shù)c的值；
（2）若x₁、x₂是復(fù)數(shù)，求實數(shù)c的值．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-3，x₁x₂=c；
（1）當x₁、x₂是實數(shù)時，利用${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂求出c的值；
（2）當x₁、x₂是復(fù)數(shù)時，設(shè)x₁=-$\frac{3}{2}$+bi，則x₂=-$\frac{3}{2}$-bi，利用|x₁-x₂|=1求出|b|的值，計算c的值即可．

解答 解：∵方程x²+3x+c=0的兩個根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=c；
又|x₁-x₂|=1，
（1）若x₁、x₂是實數(shù)，
則${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂=（-3）²-4c=1，
解得c=2；
（2）若x₁、x₂是復(fù)數(shù)，
設(shè)x₁=-$\frac{3}{2}$+bi，b∈R，
則x₂=-$\frac{3}{2}$-bi；
∴|x₁-x₂|=|2bi|=2|b|=1，
解得|b|=$\frac{1}{2}$；
∴c=（-$\frac{3}{2}$+bi）（-$\frac{3}{2}$-bi）=$\frac{9}{4}$+b²=$\frac{9}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了實系數(shù)一元二次方程的解法與應(yīng)用問題，也考查了根與系數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．