Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂（x²-ax+4）．
（1）若f（1）=2，求f（4a）；
（2）若x∈[0，2]時，函數(shù)f（x）恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值之差為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=2，求出a的值，再計算f（4a），
（2）求出g（x）=x²-ax+4在[0，2]上的最小值，令g_min（x）＞0求出a的范圍；
（3）求出f（x）在[0，2]的最值，列方程解出a．

解答 解：（1）∵f（1）=log₂（5-a）=2，∴a=1，∴f（x）=log₂（x²-x+4），f（4a）=f（4）=log₂16=4．
（2）令g（x）=x²-ax+4，則g（x）的圖象開口向上，圖象的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$．
①若$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0時，g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，g_min（x）=g（0）=4＞0，符合題意．
②若$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4時，g（x）在[0，2]上是減函數(shù)，g_min（x）=g（2）=8-2a，
令8-2a＞0，不等式無解．
③若0＜$\frac{a}{2}$＜2，即0＜a＜4時，g（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上是減函數(shù)，在（$\frac{a}{2}$，2]上是增函數(shù)，g_min（x）=g（$\frac{a}{2}$）=4-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
令4-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞0，解得0＜a＜4．
綜上，a的取值范圍是（-∞，4）．
（3）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有意義，由（2）可知，a＜4．
①若a≤0，則g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，g_max（x）=g（2）=8-2a，
∴f_max（x）=log₂（8-2a），f_min（x）=log₂4=2，∴l(xiāng)og₂（8-2a）-2=1．解得a=0．
②若0＜a＜4，當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$≤1，即0＜a≤2時，g_max（x）=g（2）=8-2a，
∴f_max（x）=log₂（8-2a），f_min（x）=log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$），∴l(xiāng)og₂（8-2a）-log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$）=1，方程無解．
當(dāng)1＜$\frac{a}{2}$＜2，即2＜a＜4時，g_max（x）=g（0）=4．
∴f_max（x）=log₂4，f_min（x）=log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$），∴l(xiāng)og₂4-log₂（4-$\frac{{a}^{2}}{4}$）=1，解得a=2$\sqrt{2}$．
綜上，a=0或a=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值，分類討論的思想方法，屬于中檔題．