Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_5}（{1-x}）（{x＜1}）\\-{（{x-2}）^2}+2（{x≥1}）\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程$f（{x+\frac{1}{x}-2}）=a$，當(dāng)1＜a＜2時(shí)實(shí)根個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 5個(gè)
• B． 6個(gè)
• C． 7個(gè)
• D． 8個(gè)

Answer 1

分析 令x+$\frac{1}{x}$-2=t，則f（t）=a，結(jié)合f（x）的函數(shù)圖象可知關(guān)于t的方程f（t）=a的解的個(gè)數(shù)和解的范圍，利用t的范圍得出關(guān)于x的方程x+$\frac{1}{x}$-2=t的解的個(gè)數(shù)即可得出答案．

解答 解：令x+$\frac{1}{x}$-2=t，則f（t）=a，
做出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知：當(dāng)1＜a＜2時(shí)，關(guān)于t的方程f（t）=a有3解．
不妨設(shè)3個(gè)解分別為t₁，t₂，t₃，且t₁＜t₂＜t₃，
則-24＜t₁＜-4，1＜t₂＜2，2＜t₃＜3，
當(dāng)x+$\frac{1}{x}$-2=t₁，即x²-（2+t₁）x+1=0，
∵-24＜t₁＜-4，
∴△=（2+t₁）²-4＞0，
∴方程x+$\frac{1}{x}$-2=t₁有2解，
同理：方程x+$\frac{1}{x}$-2=t₂有2解，x+$\frac{1}{x}$-2=t₃有2解，
∴當(dāng)1＜a＜2時(shí)，關(guān)于x的方程$f（{x+\frac{1}{x}-2}）=a$有6解．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．