Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

+θ）[

3

sin（

π

4

+θ）+cos（

π

4

+θ）]，做∠A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=

3

+1．
（1）求∠A的大��；
（2）若a=3，BC邊上的中線長為3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）把已知由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡，代入f（A）=

3

+1，結(jié)合A的范圍求解A的值；
（2）分別在三角形ABC、三角形ADB、三角形ADC中運(yùn)用余弦定理結(jié)合已知條件求得AB•AC的值，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：f（θ）=2sin（

π

4

+θ）[

3

sin（

π

4

+θ）+cos（

π

4

+θ）]
=2

3

sin2(

π

4

+θ)+2sin(

π

4

+θ)cos(

π

4

+θ)
=

3

[1-cos(

π

2

+2θ)]+sin(

π

2

+2θ)
=

3

+

3

sin2θ+cos2θ
=

3

+2sin(2θ+

π

6

)．
（1）由f（A）=

3

+1，A∈（0，π），得

3

+2sin(2A+

π

6

)=

3

+1，
sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）如圖，
在△ABC中，設(shè)BC中點(diǎn)為D，∠ADB=α，則∠ADC=π-α，
則BC2=AC2+AB2-2AB•ACcos

π

3

，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosα，
AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos（π-α），
又AD=3，BD=DC=

3

2

，
聯(lián)立以上各式求得：AB•AC=

45

2

．
∴S△ABC=

1

2

AB•ACsin

π

3

=

1

2

×

45

2

×

3

2

=

45 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．