Question

已知函數(shù)f（x）=ax-a（a≠0），g（x）=e^x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=-1時，若不等式f（x）≥kg（x）恒成立，求實數(shù)k的最大值；
（2）若方程f（x）+g（x）=0沒有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）不等式f（x）≥kg（x）恒成立可化為k≤

-x+1

ex

恒成立；令F（x）=

-x+1

ex

，求導確定函數(shù)的最小值，從而求實數(shù)k的最大值；
（2）方程f（x）+g（x）=0沒有實數(shù)根可化為g（x）=e^x的圖象與y=-f（x）=-a（x-1）的圖象沒有交點；結合圖象求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得，-x+1≥ke^x恒成立，
即k≤

-x+1

ex

恒成立；
令F（x）=

-x+1

ex

，
則F′（x）=

x-2

ex

；
故F（x）=

-x+1

ex

在（-∞，2）上是減函數(shù)，
在[2，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）≥F（2）=-e^-2；
故實數(shù)k的最大值為-e^-2；
（2）方程f（x）+g（x）=0沒有實數(shù)根可化為
g（x）=e^x的圖象與y=-f（x）=-a（x-1）的圖象沒有交點；
作g（x）=e^x與y=-f（x）=-a（x-1）的圖象如右圖，
設g（x）=e^x與y=-f（x）=-a（x-1）相切于點（x，e^x）；
則e^x=

ex-0

x-1

，解得x=2；
則結合圖象可知，
故0＜-a＜e²；
故-e²＜a＜0．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立問題及數(shù)形結合的思想，屬于難題．