Question

（2005•海淀區(qū)二模）設(shè)函數(shù)y=sin(ωx+?)(ω＞0，?∈(-

π

2

，

π

2

))的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱(chēng)，則在下面四個(gè)結(jié)論中：
（1）圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對(duì)稱(chēng)；
（2）圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

3

，0)對(duì)稱(chēng)；
（3）在[0，

π

6

]上是增函數(shù)；
（4）在[-

π

6

，0]上是增函數(shù)，
那么所有正確結(jié)論的編號(hào)為

（2）（4）

．

Answer 1

分析：首先由三角函數(shù)周期公式和對(duì)稱(chēng)軸方程，求出ω=2和φ=

π

3

，然后再由三角函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)性的規(guī)律：對(duì)稱(chēng)軸處取最值，對(duì)稱(chēng)中心為零點(diǎn)．由此再結(jié)合函數(shù)的最小正周期，則不難從（1）、（2）中選出．再解一個(gè)不等式：2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ   (k∈Z)，取適當(dāng)?shù)膋值，就可以從（3）、（4）中選出是（4）正確的．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為

2π

ω

=π，故ω=2
再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱(chēng)，得出2x+φ=

π

2

+kπ
取x=

π

12

和k=1，得φ=

π

3

所以函數(shù)表達(dá)式為：y=sin(2x+

π

3

)
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，函數(shù)值f(

π

3

) =0，因此函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

3

，0)對(duì)稱(chēng)
所以（2）是正確的
解不等式：2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ   (k∈Z)
得函數(shù)的增區(qū)間為：(-

π

6

+kπ，

π

12

+kπ)(k∈Z)
所以（4）正確的．
故答案為（2）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，屬于中檔題．熟悉三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能對(duì)正余弦曲線進(jìn)行合理地變形，找出其中的規(guī)律所在，是解決本題的關(guān)鍵．