Question

如圖，四棱錐A-BCDE的底面BCDE是正方形，AB垂直于面BCDE，且AB=CD，F(xiàn)，G分別是BC、AD的中點(diǎn)
（1）證明：FG⊥平面ADE
（2）求三棱錐A-FDE與四棱錐G-BFDE的體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AE的中點(diǎn)I，連接BI，GI，由等腰三角形性質(zhì)得BI⊥AE，從而平面ABE⊥平面BCDE，DE⊥平面ABE，從而DE⊥BI，進(jìn)而B(niǎo)I⊥平面ADE，由已知條件推導(dǎo)出四邊形BFGI是平行四邊形，由此能證明FG⊥平面ADE．
（2）連接BD、CE交于點(diǎn)O，再連接GO，則GO為四棱錐G-BFDE的高，由GO=

1

2

AB．能求出三棱錐A-FDE與四棱錐G-BFDE的體積之比．

解答： （1）證明：取AE的中點(diǎn)I，連接BI，GI．
∵AB=BE且I是AE的中點(diǎn)，∴BI⊥AE．（等腰三角形性質(zhì)）
∵AB⊥平面BCDE且AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCDE，（面面垂直的判定定理），
∵DE⊥BE，∴DE⊥平面ABE，（面面垂直的性質(zhì)定理）
∴DE⊥BI，（線面垂直的定義）
又AE∩DE=E，∴BI⊥平面ADE．（線面垂直的判定定理）
∵GI∥DE，GI=

1

2

DE，BF∥DE，BF=

1

2

DE，
∴BF∥GI且BF=GI，即四邊形BFGI是平行四邊形，
∴FG∥BI，∴FG⊥平面ADE（線面垂直的判斷定理的推論）（6分）
（2）解：連接BD、CE交于點(diǎn)O，再連接GO，
則GO為四棱錐G-BFDE的高，
GO=

1

2

AB．
∴三棱錐A-FDE與四棱錐G-BFDE的體積之比：

VA-FDE

VG-BFDE

=

1 3 ×AB× 1 2 ×BE×DE

1 3 × 1 2 AB×(BE×DE- 1 2 × 1 2 BC×CD)

=

4

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐體積之比的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力培養(yǎng)．