Question

已知函數(shù)f（x）=

x+ 4 x +1，x＞0 -x- 4 x +1，x＜0

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義說明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]和[2，+∞）上的增減性；
（3）若x₁，x₂滿足：1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，試證明：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇偶性的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
（3）證明1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4時，則5≤f（x₁）≤6，5≤f（x₂）≤6，即可得證．

解答： （1）解：∵當x＞0時，-x＜0，∴f(x)=x+

4

x

+1，f(-x)=-(-x)-

4

-x

+1=x+

4

x

+1
∴f（x）=f（-x）（2分）
∵當x＜0時，-x＞0，∴f(x)=-x-

4

x

+1，f(-x)=(-x)+

4

-x

+1=-x-

4

x

+1
∴f（x）=f（-x）（4分）
∴對x≠0都有f（x）=f（-x），故f（x）為偶函數(shù)                      （5分）
（2）解：當x＞0時，f(x)=x+

4

x

+1
設(shè)x1，x2∈R+且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

（7分）
∴當0＜x₁＜x₂≤2時，f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
當2≤x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）（9分）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)        （11分）
（3）證明：由（2）可知，當1≤x≤4時：
若1≤x≤2，則f（2）≤f（x）≤f（1）即5≤f（x）≤6
若2≤x≤4，則f（2）≤f（x）≤f（4）即5≤f（x）≤6
∴當1≤x≤4時，有5≤f（x）≤6（12分）
又由（1）可知f（x）為偶函數(shù)，∴當1≤|x|≤4時，有5≤f（x）≤6（13分）
∴若1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4時，則5≤f（x₁）≤6，5≤f（x₂）≤6（14分）
∴-6≤-f（x₂）≤-5，-1≤f（x₁）-f（x₂）≤1即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．（15分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查不等式的證明，屬于中檔題．