Question

已知復(fù)數(shù)z=

3

2

-

1

2

i，ω=

2

2

+

2

2

i．復(fù)數(shù)

.

zω

，z²ω³在復(fù)數(shù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q．
證明△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）．

Answer 1

解法一：z=

3

2

-

1

2

i=cos(-

π

6

)+isin(-

π

6

)，ω=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

于是zω=cos

π

12

+isin

π

12

，

.

zω

=cos(-

π

12

)+isin(-

π

12

)，z2ω3=[cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)]×(cos

3π

4

+isin

3π

4

)=cos

5π

12

+isin

5π

12

因?yàn)镺P與OQ的夾角為

5π

12

-(-

π

12

)=

π

2

，所以O(shè)P⊥OQ．
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >|OP|=|

.

z?

|=1．|OQ|=|z2?3|=1，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．
解法二：
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >z=

3

2

-

1

2

i=cos(-

π

6

)+isin(-

π

6

)，所以z³=-i．
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >ω=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

，所以ω⁴=-1
于是

z2ω3

. zω

=

z2ω3

. zω

•

zω

zω

=

z3ω4

|z|2|ω|2

=i
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．