Question

4．若函數(shù)f（x）=|3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$|在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 討論a的取值范圍，結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進行求解即可．

解答 解：若a=0，則f（x）=3^x在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，滿足條件；
若a＜0，則g（x）=3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，
若滿足f（x）=|3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$|在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，只需要g（-$\frac{1}{2}$）≥0，即${3}^{-\frac{1}{2}}$+$\frac{a}{{3}^{-\frac{1}{2}}}$≥0，
即$\frac{a}{{3}^{-\frac{1}{2}}}$≥-${3}^{-\frac{1}{2}}$，則a≥-（${3}^{-\frac{1}{2}}$）²=-$\frac{1}{3}$，
此時-$\frac{1}{3}$≤a＜0；
若a＞0，則f（x）=3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$，
若當x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，
即3^xln3-$\frac{aln3}{{3}^{x}}$≥0，
即3^xln3≥$\frac{aln3}{{3}^{x}}$，
則a≤（3^x）²=3^2x，
∵h（x）=3^2x，在[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，
∴當x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)h（x）取得最小值h（-$\frac{1}{2}$）=${3}^{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{3}$，
此時0＜a≤$\frac{1}{3}$，
綜上所述，-$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
故答案為：[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，利用分類討論以及利用構造法，結合函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．