Question

已知

i

，

j

是x，y軸正方向的單位向量，設(shè)

a

=(x-

3

)

i

+y

j

，

b

=(x+

3

)

i

+y

j

，且滿足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)(

3

，0)的直線l交上述軌跡于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因P（x，y），欲求點(diǎn)M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間 的關(guān)系式，利用向量間的關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后代入

b

•

i

=|

a

|即可得；
（Ⅱ）先設(shè)直線l的方程，將其與（1）中結(jié)論方程組成方程組，再利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于直線方程中參數(shù)的等式，由此式即可求得參數(shù)，從而求得直線l的方程．

解答：解：（1）∵

b

•

i

=(x+

3

)

i

2+y

i

•

j

=x+

3

，（2分）
∴x+

3

=

(x- 3 )2+y2

，（5分）
化簡得y2=4

3

x，（8分）
（2）設(shè)l：x=ty+

3

，由

x=ty+ 3 y2=4 3 x

?y2=4

3

(ty+

3

)?y2-4

3

ty-12=0（10分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）由|AB|=8

3

得

1+ 1 t2

|y1-y2|=

1+ 1 t2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 t2

•

(4 3 t)2+48

=8

3

（12分）

1+ 1 t2

•

t2+1

=2?t2=1?t=±1，（14分）
所以直線l的方程為x-y-

3

=0或x+y-

3

=0．（16分）

點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．