Question

已知兩點M（-3，0），N（3，0），點P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點，且，則動點P（x，y）到兩點A（-3，0）、B（-2，3）的距離之和的最小值為（ ）
A．4
B．5
C．6
D．

Answer 1

【答案】分析：首先利用向量數(shù)量積的運算求出拋物線的方程，然后根據(jù)拋物線的定義再將動點P（x，y）到點A（-3，0）的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，如圖．再由拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)B，C和P三點共線的時候距離之和最小，從而得到答案．
解答：解：設(shè)P（x，y），因為M（-3，0），N（3，0），
所以，，=（6，0），
由，則，
化簡整理得y²=-12x，其焦點坐標(biāo)為（-3，0），
所以點A是拋物線y²=-12x的焦點，
過P作準(zhǔn)線x=3的垂線，垂足為C，
則動點P（x，y）到兩點A（-3，0）、B（-2，3）的距離之和等于動點P（x，y）到點B（-2，3）和到直線x=3的距離之和，
依題意可知當(dāng)B，C和P三點共線的時候，距離之和最小，如圖，
最小值為：3-（-2）=5．
故選B．
點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的數(shù)量積、曲線方程的求法、拋物線的定義以及等價轉(zhuǎn)化能力．