Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)．

（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體解法是先確定焦點(diǎn)的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．（Ⅱ）與圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題綜合性較強(qiáng)，解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長(zhǎng)度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來，再對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論，應(yīng)用不等式、三角函數(shù)等知識(shí)求最值，在解題過程中注意向量，不等式的應(yīng)用．

試題解析：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸，半焦距，則半短軸．

又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分

（Ⅱ）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，因此的面積．

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，該直線方程為，代入，

解得B（,），C（－,－），

則，又點(diǎn)A到直線的距離，

∴△ABC的面積．

于是．

由，得，其中當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

∴的最大值是． 10分

考點(diǎn)：橢圓方程及綜合問題