Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3，若用函數(shù)g（t）替代x，則得到函數(shù)f[g（t）]，則下列關(guān)于g（t）的表達(dá)式，會(huì)使f[g（t）]的值域不同于f（x）的值域的是（　　）

A．g（t）=2^t

B．g（t）=log₂t

C．g（t）=g²-2t+3

D．g（t）=2t-3

Answer 1

分析：由題意，本題要比較前后兩個(gè)函數(shù)值域是否相同，故先解出f（x）=x²-2x+3值域，再研究四個(gè)選項(xiàng)中g(shù)（t）的表達(dá)式，求出f[g（t）]的值域與數(shù)f（x）值域相比較即可得到正確選項(xiàng)．

解答：解：由題意，先研究函數(shù)f（x）=x²-2x+3，此二次函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱，其函數(shù)值滿足f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，即函數(shù)值域是[2，+∞）．
對(duì)于A選項(xiàng)，g（t）=2^t∈（0，+∞），可保證新函數(shù)f[g（t）]的值域是[2，+∞）．
對(duì)于B選項(xiàng)，g（t）=log₂t的值域是R，可保證新函數(shù)f[g（t）]的值域是[2，+∞）．
對(duì)于C選項(xiàng)，g（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，此時(shí)，g（t）=1不成立，此時(shí)新函數(shù)f[g（t）]的值域不是[2，+∞）．
對(duì)于D選項(xiàng)，g（t）=2t-3值域是R，可保證新函數(shù)f[g（t）]的值域是[2，+∞）．
綜上知，C選項(xiàng)中g(shù)（t）的表達(dá)式，會(huì)使f[g（t）]的值域不同于f（x）的值域．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值，考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法，正確解答本題，關(guān)鍵是理解題意，確定解題的方法是比較兩個(gè)函數(shù)值域是否相同，本題的重點(diǎn)是求函數(shù)的值域，復(fù)合函數(shù)值域的求法是本題的難點(diǎn)，其求法步驟一般是先求內(nèi)層函數(shù)值域，再求復(fù)合函數(shù)的值域．本題考查了判斷推理的能力及計(jì)算能力．