Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為c，公差為d，等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為d，公比為c，其中c，d∈Z，且a₁＜b₁＜a₂＜
b₂＜a₃．
（1）求證：0＜c＜d，并由b₂＜a₃推導(dǎo)c的值；
（2）若數(shù)列{a_n}共有3n項(xiàng)，前n項(xiàng)的和為A，其后的n項(xiàng)的和為B，再其后的n項(xiàng)的和為C，求$\frac{{B}^{2}-AC}{（A-C）^{2}}$的比值．
（3）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)、前3n項(xiàng)的和分別為D，G，H，試用含字母D，G的式子來(lái)表示H（即H=f（D，G），且不含字母d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以推知0＜c＜d，結(jié)合已知條件a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃列出不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜d}\\{d＜cd}\\{cd＜c+2d＜3d}\end{array}\right.$，通過(guò)解該不等式組推導(dǎo)c的值；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)推知A=S_n，B=S_2n-S_n，C=S_3n-S_2n，易得B、A+C=2B，結(jié)合代數(shù)式的變形來(lái)求$\frac{{B}^{2}-AC}{（A-C）^{2}}$的值；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分別表示出D、G、H，然后找到它們的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）已知a₁=c，a₂=c+d，a₃=c+2d，b₁=d，b₂=dc，
由b₁＜a₂可知c＞0，因此0＜c＜d，
由a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃可得：c＜d＜c+d＜cd＜c+2d，且c，d∈Z，
因此可得不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜d}\\{d＜cd}\\{cd＜c+2d＜3d}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{0＜c}\\{1＜c}\\{c＜3}\end{array}\right.$⇒1＜c＜3．
又因?yàn)閏∈Z，
因此c=2；
（2）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為數(shù)列a_n=2+（n-1）d，S_n=$\fracyt6bgyv{2}$n²+（2-$\fraci90aigd{2}$）n，A=S_n，B=S_2n-S_n，C=S_3n-S_2n，
B=$\fracbwexp4w{2}$（4n²-n²）+（2-$\fracgadgjbu{2}$）（2n-n）=$\fracwr04vsa{2}$•3n²+（2-$\fracf549c59{2}$）n，
可得A+C=$\fracmcpxksf{2}$n²+（2-$\fracdxq55zc{2}$）n+$\frace9oldgo{2}$（9n²-4n²）+（2-$\fraco0yli94{2}$）（3n-2n）=3d•n²+（2-$\fracd5nfybu{2}$）•2n，
可得A+C=2B，
因此$\frac{{B}^{2}-AC}{（A-C）^{2}}$=$\frac{（A+C）^{2}-4AC}{4（A-C）}$=$\frac{1}{4}$；
（3）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為b_n=d•2^n-1．
因此D=$\frac{d（{2}^{n}-1）}{2-1}$=d（2ⁿ-1），G=d（2²ⁿ-1），H=d（2³ⁿ-1）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{G=（{2}^{n}+1）•D}\\{H=（{2}^{3n}+{2}^{n}+1）•D}\end{array}\right.$，
因此H=D•（$\frac{G}{D}$-1）²+G=$\frac{{G}^{2}}{D}$+2D-G．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用，數(shù)列的求和，考查計(jì)算能力，屬于難度較大的題目．