Question

已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+

π

6

)（其中ω＞0x∈R）的最小正周期為10π．
（1）求ω的值；  
（2）設(shè)α、β∈[0，

π

2

]，f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，f(5β-

5

6

π)=

16

17

，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．
（3）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的周期求出ω的值．
（Ⅱ）由條件求得sinα=

3

5

，cosβ=

8

17

，根據(jù)α、β∈[0，

π

2

]，求得cosα=

1-sin2α

=

4

5

，sinβ=

1-cos2β

=

15

17

，由此求得cosαcosβ-sinαsinβ的值．
（Ⅲ）由于

f(x)=2cos( x 5 + π 6 )

，由2kπ-π≤

x

5

+

π

6

≤2kπ，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)周期T=

2π

ω

=10π，所以ω=

1

5

．…（3分）
（Ⅱ）由于f(5α+

5

3

π)=2cos[

1

5

(5α+

5

3

π)+

π

6

]=2cos(α+

π

2

)=-2sinα=-

6

5

，所以sinα=

3

5

．…（5分）
由于 f(5β-

5

6

π)=2cos[

1

5

(5β-

5

6

π)+

π

6

]=2cosβ=

16

17

，所以cosβ=

8

17

．…（7分）
因為α、β∈[0，

π

2

]，所以cosα=

1-sin2α

=

4

5

，sinβ=

1-cos2β

=

15

17

，…（11分）
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

8

17

-

3

5

×

15

17

=-

13

85

．…（13分）
（Ⅲ）∵

f(x)=2cos( x 5 + π 6 )

，由2kπ-π≤

x

5

+

π

6

≤2kπ，求得10kπ-

35π

6

≤x≤10kπ-

5π

6

 ，k∈Z，…（15分）
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 [10kπ-

35π

6

，10kπ-

5π

6

]，k∈Z．…（18分）

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，兩角和的余弦公式，屬于中檔題．