Question

1．已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱錐P-BCDE，如圖所示．
（1）若點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，求證：BM∥平面PDE；
（2）求證：DE⊥PC．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M，由中位線定理及平行四邊形判定定理易得四邊形EFMB是平行四邊形，進(jìn)而BM∥EF，再由線面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；
（2）在矩形ABCD中，連接AC交DE于N，即可證明DE⊥AC，所以在四棱錐P-EBCD中，PN⊥DE，CN⊥DE，從而證明DE⊥平面POC，易推知結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖2，取DP中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M，
∵在△PDC中，點(diǎn)F，M分別是所在邊的中點(diǎn)，所以FM=$\frac{1}{2}$DC，
又EB$\stackrel{∥}{=}$DC，
所以FM$\stackrel{∥}{=}$EB．
所以FEBM是平行四邊形，所以BM∥EF，
又EF?平面PDE，BM?平面PDE，
所以BM∥平面PDE．
（2）在矩形ABCD中，連接AC交DE于N，
因?yàn)?tan∠DEA=\sqrt{2}$，$tan∠CAB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$∠DEA+∠CAB=\frac{π}{2}$，
所以DE⊥AC，
所以在四棱錐P-EBCD中，PN⊥DE，CN⊥DE，
又PN∩CN=N，所以DE⊥平面POC，
因?yàn)镻C?平面POC，所以DE⊥PC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．