Question

直線y=x+k與拋物線y²=2x相交于點(diǎn)A、B，且OA⊥OB，則k=

-2

．

Answer 1

分析：聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個(gè)交點(diǎn)A，B的橫縱坐標(biāo)的乘積，再由OA⊥OB代入坐標(biāo)，聯(lián)立后即可求得k的值．

解答：解：直線方程代入拋物線方程整理得：
x²+（2k-2）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=2-2k，x1x2=k2
y1y2=x1x2+k(x1+x2)+k2=2k²+2k-2k²=2k
∵OA⊥OB
∴OA²+OB²=AB²
即x12+x22+y12+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
∴x₁x₂+y₁y₂=0
則k²+2k=0
∴k=-2（0舍去）
故答案為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答此類問(wèn)題的常用方法是借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，然后結(jié)合已知條件列式求解，是中檔題．