Question

若直角坐標平面內的兩個不同點M、N滿足條件：
①M、N都在函數y=f（x）的圖象上； 
②M、N關于原點對稱．則稱點對[M，N]為函數y=f（x）的一對“友好點對”．（注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”），已知函數f(x)=

log3x(x＞0) -x2-4x(x≤0)

，此函數的“友好點對”有

2對

．

Answer 1

分析：根據題意：“友好點對”，可知，欲求f（x）的“友好點對”，只須作出函數y=-x²-4x（x≤0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數f（x）=log₃x（x＞0）交點個數即可．

解答：解：根據題意：當x＞0時，-x＜0，
則f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
則函數y=-x²-4x（x≤0）的圖象關于原點對稱的函數是y=x²-4x（x≥0）
由題意知，作出函數y=x²-4x（x≥0）的圖象及函數f（x）=log₃x（x＞0）的圖象如下圖所示
由圖可得兩個函數圖象共有兩個交點

即f（x）的“友好點對”有：2個．
故答案為：2

點評：本題主要考查了奇偶函數圖象的對稱性，以及數形結合的思想，解答的關鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．