Question

4．已知三個向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$兩兩所夾的角都為120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角．

Answer 1

分析 計算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|，代入向量的夾角公式計算．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=1×3×cos120°=-$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow•\overrightarrow{c}=2×3×$cos120°=-3．
∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=3．∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$．
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×1}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角為150°．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運算，屬于中檔題．