Question

14．在△ABC中，用綜合法證明：$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分不必要條件．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理余弦定理和基本不等式即可證明$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分條件，舉反例即可說明不是必要條件．

解答 證明：根據(jù)正弦定理，$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{a+b}$+$\frac{c}{b+c}$=1，
∴a（b+c）+c（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=ac，
根據(jù)余弦定理，得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當a=c是取等號，
∵0＜B＜180°，
∴∠B≤60°，
∴$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分條件，
當A=90°，C=30°，B=60°時，
$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=$\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4-2$\sqrt{3}$+2（$\sqrt{3}$-1）=2≠1，
∴$\frac{sinA}{sinA+sinB}$+$\frac{sinC}{sinB+sinC}$=1是∠B≤60°的充分不必要條件

點評 本題借助于充要條件，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，屬于中檔題．