Question

4．在平行四邊形ABCD中，∠CBD=90°，BC=BD=1，將平行四邊形沿對(duì)角線(xiàn)BD折成60°的二面角（如圖中實(shí)線(xiàn)部分）．求：
（Ⅰ）A、C兩點(diǎn)間的距離；
（Ⅱ）異面直線(xiàn)AC與BD所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=|$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|²，∠CBD=90°，BC=BD=1，ABCD為平行四邊形，從而|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=1，且$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{BC}$，＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}$＞=120°，由此能求出A、C兩點(diǎn)間的距離．
（2）設(shè)＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$＞=θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=-$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}}{\sqrt{2}}$，由∠CBD=90°，BC=BD=1，得＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DB}$＞=45°，由此能求出異面直線(xiàn)AC與BD所成的角．

解答 解：（Ⅰ）$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=|$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|²
=|$\overrightarrow{AD}$|²+|$\overrightarrow{DB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DB}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{BC}$，
∵∠CBD=90°，BC=BD=1，ABCD為平行四邊形，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=1，且$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{BC}$，
∵二面角A-BD-C為60°，∴＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}$＞=120°，
∴$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=|$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|²
=1+1+1+2×1×1×cos120°
=2，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$．
∴A、C兩點(diǎn)間的距離為$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$＞=θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{BD}}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BD}}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}}{\sqrt{2}}$，
在△CBD中，∠CBD=90°，BC=BD=1，
∴＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DB}$＞=45°，
∴cosθ=-$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}}{\sqrt{2}}$=-$\frac{|\overrightarrow{DC}|•|\overrightarrow{DB}|•cos45°}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴異面直線(xiàn)AC與BD所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間距離的求法，考查異面直線(xiàn)所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．