Question

14．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P（3，y）到左、右焦點(diǎn)的距離分別為$\frac{13}{2}$，$\frac{7}{2}$，則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}=1$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合定義求得a值，再由焦半徑公式求得c，結(jié)合隱含條件求出b，則橢圓方程可求．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P（3，y）到左、右焦點(diǎn)的距離分別為$\frac{13}{2}$，$\frac{7}{2}$，
可得2a=$\frac{13}{2}+\frac{7}{2}=10$，即a=5．
由左焦半徑$a+3e=\frac{13}{2}$，得$3e=\frac{13}{2}-5=\frac{3}{2}$，即e=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}{5}=\frac{1}{2}$，c=$\frac{5}{2}$，則$^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，主要是定義及焦半徑公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．