Question

已知點P（a，-1）（a∈R），過點P作拋物線C：y=x²的切線，切點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁與x₂的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以點P為圓心的圓E與直線AB相切，求圓E面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）涉及切點的問題常常利用導數與斜率的關系建立等式求解有關問題
（2）以點P為圓心的圓E與直線AB相切，一般直線與圓相切利用d=r建立關系．
解答：解：（Ⅰ）由y=x²可得，y′=2x．（1分）
∵直線PA與曲線C相切，且過點P（a，-1），
∴，即x₁²-2ax₁-1=0，（3分）
∴，或，（4分）
同理可得：，或（5分）
∵x₁＜x₂，∴，．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，（7分）
則直線AB的斜率，（8分）
∴直線AB的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2ax-y+1=0．
∵點P到直線AB的距離即為圓E的半徑，即，（10分）
∴
=，
當且僅當，
即，時取等號．
故圓E面積的最小值S=πr²=3π．（14分）
點評：本題考查了函數的導數與斜率之間的關系，直線與圓的位置關系，不等的應用