我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點稱為切點．解決下列問題：
已知拋物線上的點到焦點的距離等于4，直線與拋物線相交于不同的兩點、，且（為定值）．設線段的中點為，與直線平行的拋物線的切點為．.

（1）求出拋物線方程，并寫出焦點坐標、準線方程；
（2）用、表示出點、點的坐標，并證明垂直于軸；
（3）求的面積，證明的面積與、無關，只與有關.

（1），，，（2），，（3）.

解析試題分析：（1）由拋物線定義得：，即，因此拋物線方程為，焦點坐標，準線方程為．（2）因為D點為直線與拋物線的交點A，B中點，所以求D點坐標就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解，即由，得，，點.因為C點為切點，利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別式為零進行求解，即由,得，得.由于、的橫坐標相同，垂直于軸．（3）求三角形面積，必須觀察結構，合理選用底邊與高.本題將CD選為底,則為高，利用（1）求出，則.的面積與、無關，只與有關．
試題解析：（1），得，拋物線方程為．    2分
焦點坐標，準線方程為．    4分
（2）由，得，
點          6分
設切線方程為，由,得，，切點的橫坐標為，得    8分
由于、的橫坐標相同，垂直于軸．        10分
（3），．   12分
．        15分
的面積與、無關，只與有關．      16分
（本小題也可以求，切點到直線的距離，相應給分）
考點：拋物線定義，直線與拋物線位置關系

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

長方形中，，．以的中點為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系．

(1) 求以、為焦點，且過、兩點的橢圓的標準方程；
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 為橢圓上一點，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，短軸的端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點.設弦的中點為，試求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓C1：的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當時，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為,離心率，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設是直線上的不同兩點，若,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案