Question

已知定義在R的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），下面四種說法
①f（3）=1；
②函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對稱；
④若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和為-8，
其中正確的序號

①④

．

Answer 1

分析：取x=1，得f（-3）=-f（1）=1，再由函數(shù)為奇函數(shù)，可得f（3）的值，判斷①；
由f（x-4）=f（-x）可得f（x-2）=f（-x-2），結(jié)合奇函數(shù)利用函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性，可分析出（4，0）點(diǎn)為對稱中心，從而判斷②；
結(jié)合f（x）為奇函數(shù)且f（x），及x∈[0，2]時，函數(shù)的解析式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，及奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，函數(shù)在對稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，可判斷出函數(shù)f（x）在[-6，-2]上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷③；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，故可得結(jié)論．

解答：解：取x=1，得f（1-4）=f（-3）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故①正確；
定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，
由于函數(shù)對稱中心原點(diǎn)（0，0）的對稱點(diǎn)為（4，0），故函數(shù)f（x）也關(guān)于（4，0）點(diǎn)對稱，故③不正確；
∵x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1）為增函數(shù)，
由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同可得，x∈[-2，0]時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∴x∈[-2，2]時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)，故②不正確；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故④正確
故答案為：①④

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．