Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1。

（1）請(qǐng)?jiān)诰�段CE上找到一點(diǎn)F，使得直線BF∥平面ACD，并證明；

（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）若的線∥面，且，由線面平行的性質(zhì)定理可知 ∥， 即若證得 ∥，則可證得∥面。由已知可知∥且，則點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)根據(jù)平行四邊形可證得 ∥。（2）設(shè)所求的二面角的大小為，則。（也可用空間向量法）

解法一：以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，使得軸和軸的正半軸分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，

（1）點(diǎn)F應(yīng)是線段CE的中點(diǎn)，下面證明：

設(shè)F是線段CE的中點(diǎn)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為

，∴

，而是平面ACD的一個(gè)法向量，

此即證得BF∥平面ACD； 6分

（2）設(shè)平面BCE的法向量為，則，且，

由，，

∴，不妨設(shè)，則，即，

∴所求角滿足，∴； 13分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，

連接FH，則，∴，

∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴，

由平面ACD內(nèi)，平面ACD，平面ACD

（2）由已知條件可知即為在平面ACD上的射影，設(shè)所求的二面角的大小為，則，

易求得BC=BE，CE，∴，

而，∴，且， ∴

考點(diǎn)：1線線平行、線面平行；2二面角。